已知數(shù)列
的前n項和為
，且滿足
，
.
（1）求數(shù)列的通項公式
；
（2）設(shè)
為數(shù)列{
}的前n項和，求；
（3）設(shè)
，證明：
.
(1)
(2)
（3）見解析
【解析】
試題分析：
(1)當(dāng)
帶入式子
結(jié)合
即可得到
的值,當(dāng)
時,利用
與
的關(guān)系(
)即可得到
是一個常數(shù),即可得到數(shù)列
為等差數(shù)列,但是需要驗證
是否符合,進(jìn)而證明
為等差數(shù)列,即可求的通項公式.
(2)把(1)中得到的
的通項公式帶入
可得
,即為等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,故需要利用錯位相減法來求的前n項和
.
(3)把(1)得到的
帶入
,觀察
的通項公式為分式,為求其前n項和可以考慮利用裂項求和法.進(jìn)行裂項
,在進(jìn)行求和就可以得到
的前n項和為
,利用
非負(fù)即可證明原不等式.
試題解析：
（1）由題意，當(dāng)
時，有
， （1分）
兩式相減得
即
. （2分）
由
，得
.
所以對一切正整數(shù)n，有， （3分）
故
，即
. （4分）
（2）由（1），得
，
所以
① （5分）
①兩邊同乘以
，得
② （6分）
①-②，得
， （7分）
所以
， （8分）
故
. （9分）
（3）由（1），得
（12分）
（13分）
. （14分）
考點：裂項求和 錯位相減 不等式
科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年江蘇省南京市高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
已知非空有限實數(shù)集S的所有非空子集依次記為S1，S2，S3， ，集合Sk中所有元素的平均
值記為bk．將所有bk組成數(shù)組T：b1，b2，b3， ，數(shù)組T中所有數(shù)的平均值記為m(T)．
（1）若S={1，2}，求m(T)；
（2）若S＝{a1，a2， ，an}（n∈N*，n≥2），求m(T)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年廣東省韶關(guān)市高三4月高考模擬（二模）理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題
給出下列四個命題，其中假命題是（ ）
A．從勻速傳遞的新產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件新產(chǎn)品進(jìn)行某項指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；
B．樣本方差反映了樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度；
C．在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好；
D．設(shè)隨機(jī)變量
服從正態(tài)分布
，若
則
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年廣東省韶關(guān)市高三4月高考模擬（二模）文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題
已知函數(shù)
，若
，則實數(shù)
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年廣東省韶關(guān)市高三4月高考模擬（二模）文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題
在某次測量中得到的
樣本數(shù)據(jù)如下：82、84、84、86、86、86、88、88、88、88.若
樣本數(shù)據(jù)恰好是樣本數(shù)據(jù)每一個數(shù)都加2后所得數(shù)據(jù)，則、
兩個樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是（ ）
A．眾數(shù) B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．方差
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年廣東省肇慶市高三3月第一次模擬理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題
已知曲線C的極坐標(biāo)方程為
（
），曲線C在點（2，
）處的切線為l，以極點為坐標(biāo)原點，以極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則l的直角坐標(biāo)方程為 .
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年廣東省肇慶市高三3月第一次模擬理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題
下列命題中，真命題是 ( )
A．
，
；
B．
，
；
C．“
”是“
”的充分不必要條件；
D．設(shè)
，
為向量，則“
”是“
”的必要不充分條件
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年廣東省肇慶市高三3月第一次模擬文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題
已知
是遞增的等差數(shù)列，
，
為其前
項和，若
成等比數(shù)列，則
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年廣東省湛江市高三高考模擬測試二文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題
閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入
，則輸出的
值為______________.
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