Question

3．實(shí)數(shù)a，b滿足：①2b≥a²-4a；②b≤$\sqrt{4a-{a}^{2}}$；③（|a-2|+|b|-2）（|a-2|+|b|-3）≤0這三個(gè)條件，則|a-b-6|的范圍是[$\frac{3}{2}$，4+2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，把條件轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的約束條件，再求目標(biāo)函數(shù)的最值，即可求出對應(yīng)的取值范圍．

解答 解：由題意，4-a²≥0，得0≤a≤4；
設(shè)a-2=x，b=y，則①②③式化為
$\left\{\begin{array}{l}{y≥{\frac{1}{2}x}^{2}-2}\\{y≤\sqrt{4{-x}^{2}}}\\{2≤|x|+|y|≤3}\end{array}\right.$，
畫出圖形，如圖所示；
令t=|a-b-6|，則t=|x-y-4|，
所以y=x-4±t；
設(shè)y=x+m，利用相切可得2≤m≤2$\sqrt{2}$，-$\frac{5}{2}$≤m≤-2；
$\frac{3}{2}$≤t≤4+2$\sqrt{2}$，
即|a-b-6|的范圍是[$\frac{3}{2}$，4+2$\sqrt{2}$]．
故答案為：[$\frac{3}{2}$，4+2$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查了含有絕對值不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，是難題．