Question

12．函數(shù)y=f（x）的圖象上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_A，k_B，規(guī)定φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$叫做曲線y=f（x）在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”．設(shè)曲線y=e^x上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，試求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 求出y′=e^x，由定義求出兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的“彎曲度”，代入t•φ（A，B）＜1化簡(jiǎn)，根據(jù)恒成立求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：由y=e^x得y′（x）=e^x，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為曲線y=e^x上兩點(diǎn)，且x₁-x₂=1，
∴φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{{|e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$，
∵t•φ（A，B）＜1恒成立，∴t＜$\sqrt{\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}+1}$，
∵$\sqrt{\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}+1}$＞1，∴t≤1，
則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩點(diǎn)間的距離公式，以及恒成立問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)函數(shù)的新定義的內(nèi)容進(jìn)行分析、判斷，屬于中檔題．