Question

【題目】對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：①函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當定義域為時，的值域也是，則稱是該函數(shù)的和諧區(qū)間.

（1）求證：函數(shù)不存在和諧區(qū)間；

（2）已知：函數(shù)有和諧區(qū)間，當變化時，求出的最大值；

（3）易知，函數(shù)是以任一區(qū)間為它的“和諧區(qū)間”，試再舉一例有和諧區(qū)間的函數(shù)，并寫出它的個和諧區(qū)間（不需要證明，但是不能用本題已經(jīng)討論過的以及形如的函數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）和諧區(qū)間為.

【解析】

（1）由題知函數(shù)的定義域為，設是已知函數(shù)定義域的子集，得到函數(shù)在上單調(diào)遞增.再假設是函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則，通過判斷方程無實數(shù)根得到函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.

（2）設是函數(shù)定義域的子集，得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，是方程的同號的不相等的實數(shù)根.利用一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根可得到或.所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值.

（3）可以舉例常見的基本初等函數(shù)，如.

（1）設是已知函數(shù)定義域的子集.

因為，所以或.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

若是函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則.

所以是方程的同號的不相等的實數(shù)根.

又因為無實數(shù)根，

所以函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.

（2）設是已知函數(shù)定義域的子集.

因為，所以或.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

若是函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則.

所以是方程的同號的不相等的實數(shù)根.

整理得：是方程的同號的不相等的實數(shù)根.

因為，

所以同號，只需滿足

即或時，已知函數(shù)又“和諧區(qū)間”.

因為，

所以當時，.

（3）例如：函數(shù)，“和諧區(qū)間”為.