Question

已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，且曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為.
（1）確定的值；
（2）若，判斷的單調(diào)性；
（3）若有極值，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）增函數(shù)；（3）.

解析試題分析：（1）由
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7b/b/uixjz1.png" style="vertical-align:middle;" />是偶函數(shù)，所以，又曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，所以有，利用以上兩條件列方程組可解的值；
（2）由（1），，當(dāng)時(shí)，利用的符號(hào)判斷的單調(diào)性；
（3）要使函數(shù)有極值，必須有零點(diǎn)，由于，所以可以對(duì)的取值分類(lèi)討論，得到時(shí)滿(mǎn)足條件的的取值范圍.
解：（1）對(duì)求導(dǎo)得，由為偶函數(shù)，知，
即，因，所以
又，故.
（2）當(dāng)時(shí)，，那么

故在上為增函數(shù).
（3）由（1）知，而，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
下面分三種情況進(jìn)行討論.
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，此時(shí)無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，此時(shí)無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，令，注意到方程有兩根，
即有兩個(gè)根或.
當(dāng)時(shí)，；又當(dāng)時(shí)，從而在處取得極小值.
綜上，若有極值，則的取值范圍為.
考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、分類(lèi)討論的思想.