Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在有兩個零點，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)因式分解為，再對參數(shù)分類討論可得；

（2）依題意可得，當(dāng)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，不滿足條件；

當(dāng)時，由（1）得在為增函數(shù)，因為，.再對，，三種情況討論可得.

解：（1）因為，所以，

即.

由，得，.

①當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.

故在為增函數(shù).

②當(dāng)時，，

由得或，由得；

所以在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).

③當(dāng)時，，

由得或，由得；

所以在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).

綜上，當(dāng)時，在為增函數(shù)；

當(dāng)時，在，為增函數(shù)，在為減函數(shù)；

當(dāng)時，在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).

（2）因為，所以，

①當(dāng)時，，在為增函數(shù)，所以在至多一個零點.

②當(dāng)時，由（1）得在為增函數(shù).

因為，.

（ⅰ）當(dāng)時，，時，，時，；

所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，.

故在有且只有一個零點.

（ⅱ）當(dāng)時，，，，使得，

且在為減函數(shù)，在為增函數(shù).

所以，又，

根據(jù)零點存在性定理，在有且只有一個零點.

又在上有且只有一個零點0.

故當(dāng)時，在有兩個零點.

（ⅲ）當(dāng)時，，，，使得，

且在為減函數(shù)，在為增函數(shù).

因為在有且只有一個零點0，

若在有兩個零點，則在有且只有一個零點.

又，所以即，所以，

即當(dāng)時在有兩個零點.

綜上，m的取值范圍為