Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】分析：(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果.

詳解：（1）因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以，且.

連結(jié).因?yàn)?/span>，所以為等腰直角三角形，

且，.

由知.

由知平面.

（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

由已知得取平面的法向量.

設(shè)，則.

設(shè)平面的法向量為.

由得，可取，

所以.由已知得.

所以.解得（舍去），.

所以.又，所以.

所以與平面所成角的正弦值為.