Question

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅱ)求證：當(dāng)時(shí),在(1)的條件下, 成立．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ)見(jiàn)解析．

【解析】試題分析: (1)構(gòu)造函數(shù) ,求出 在 的最小值,從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè) ，求出 的單調(diào)性，得出結(jié)論.

(Ⅰ)原題即為存在,使得,

∴,

令,則.

令,解得.

∵當(dāng)時(shí), ,∴為減函數(shù),

當(dāng)時(shí), ，∴為增函數(shù),

∴,∴.

∴的取值范圍為.

(Ⅱ)原不等式可化為,

令,則,

,

∵,由(Ⅰ)可知, ,

則,

∴在上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)時(shí), .

∴成立.

即當(dāng)時(shí), 成立.

點(diǎn)睛: 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值上的應(yīng)用，屬于中檔題.考查學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具去分析、解決問(wèn)題的能力,綜合考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力以及等價(jià)轉(zhuǎn)換的解題思想.