Question

【題目】如圖，直角梯形中， ， ， ，等腰梯形中， ， ， ，且平面平面.

（1）求證： 平面；

（2）若與平面所成角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2) .

【解析】試題分析：

（1）由平面平面可得平面，從而得到．又， ，故由線面垂直的判定定理可得平面．（2）設(shè)，由題意可證得四邊形為平行四邊形，從而得平面，則為與平面所成的角，由，得．建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，根據(jù)兩向量夾角的余弦值可求得二面角的余弦值．

試題解析：

（1）證明：∵平面平面，平面平面， ，

∴平面，

又平面，

∴，

又， ，

∴平面.

（2）解：設(shè)，

∵四邊形為等腰梯形， ， ，

∴， ，

∵，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

又平面，

∴平面，

∴為與平面所成的角，

∴，

又，

∴．

由兩兩垂直可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ，

∴， ，

∵平面，

∴平面的法向量為.

設(shè)平面的一個法向量為，

由 得 ∴

令,得．

∴．

由圖形知二面角為銳角，

∴二面角的余弦值為.