Question

【題目】如圖，三棱柱中， 平面， .過的平面交于點，交于點.

(l)求證： 平面；

(Ⅱ)求證： ；

(Ⅲ)記四棱錐的體積為，三棱柱的體積為.若，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：(l)因為平面，由線面垂直的性質(zhì)可得，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，利用線面垂直的判定定理可得平面；(Ⅱ)由， 平面，所以 平面，利用線面平行的性質(zhì)定理可得；(Ⅲ) 記三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，先證明，所以 ，結(jié)合， 可得 ，而三棱柱與三棱柱等高，由此得 ．

試題解析：（1） 因為 平面，所以 ．

在三棱柱中，因為 ，所以 四邊形為菱形，

所以 ． 所以 平面．

（2）在 三棱柱中，

因為 ， 平面，所以 平面．

因為 平面平面，所以 ．

（3）記三棱錐的體積為，三棱柱的體積為.

因為三棱錐與三棱柱同底等高，

所以 ， 所以 .

因為 ， 所以 . 因為 三棱柱與三棱柱等高，

所以 △與△的面積之比為， 所以 ．