Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：當(dāng)時，函數(shù)有唯一的極值點；

（2）設(shè)為正整數(shù)，若不等式在內(nèi)恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)進行求導(dǎo)并判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，分別求出使和的的取值范圍，從而使命題得證；

（2）當(dāng)時，不等式恒成立等價于對恒成立，令，得，又因為為正整數(shù)，所以或2，當(dāng)時，不等式對恒成立，即對恒成立，設(shè)，對函數(shù)進行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性并求在上的最小值，只需求得即可求得的最大值2.

證明：（1）因為函數(shù)的定義域為，

設(shè)，則.

①當(dāng)時，因為，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，又因為，

，

所以存在，使，對于，都有，對于，都有.

②當(dāng)時，.

綜上可得，，當(dāng)時，，當(dāng).

因此，當(dāng)時，函數(shù)有唯一的極值點.

（2）當(dāng)時，不等式恒成立等價于

對恒成立，

令，得，又因為為正整數(shù)，所以或2，

當(dāng)時，不等式對恒成立，

即對恒成立，

設(shè)，則.

設(shè)，則，因為當(dāng)時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，

所以當(dāng)時，，即.

令，得，因為，所以當(dāng)時，，

當(dāng)時，，所以，

又因為，所以，因此，當(dāng)時，恒成立.

也就是說當(dāng)時，不等式在內(nèi)恒成立.

故的最大值為2.