Question

17．（1）已知2${\;}^{{x}^{2}+x}$＜（$\frac{1}{4}$）^x-2，求函數(shù)y=2^-x的值域．
（2）已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，0），求＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞

Answer 1

分析 （1）運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式可得-4＜x＜1，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求值域；
（2）運用平面向量的數(shù)量積的坐標表示和斜率的模的公式，計算即可得到所求夾角．

解答 解：（1）不等式2${\;}^{{x}^{2}+x}$＜（$\frac{1}{4}$）^x-2，
即為${2}^{{x}^{2}+x}$＜2^4-2x，
即有x²+x＜4-2x，
解得-4＜x＜1，
即有-1＜-x＜4，
則函數(shù)y=2^-x的值域為（$\frac{1}{2}$，16）；
（2）由$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，0），
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}×\sqrt{3}$+1×0=3，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3+1}$=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，
則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤π，
則＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用：解不等式和求值域，同時考查平面向量的數(shù)量積的坐標表示和夾角的求法，屬于中檔題．