Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，平分，平面，，點(diǎn)在上，.

（1）求證：平面；

（2）若，,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析.

（2）.

【解析】

（1）先根據(jù)平面得，再根據(jù)已知，得平面，即得，另一方面根據(jù)計(jì)算得，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解得平面的一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系求結(jié)果.

（1）證明：因?yàn)?/span>平面，所以，

又因?yàn)?/span>，，所以平面

所以

作交于點(diǎn)，則平面，

在中，，，設(shè)

則

易證

因?yàn)?/span>，則

所以，即，

所以平面.

（2）如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

因?yàn)榇怪逼椒?/span>，所以為直角三角形的斜邊上的中線

所以

因?yàn)?/span>，，由，得

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即得，取，則，

由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，

所以

由圖可知，所求二面角為銳角

所以所求二面角的余弦值為.