Question

6．已知$sinα=-\frac{4}{5}$，$π＜α＜\frac{3π}{2}$，則$cos\frac{α}{2}$的值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由角的范圍可得sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，利用二倍角公式可得2sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=-$\frac{4}{5}$，又由同角三角函數基本關系式可得sin²$\frac{α}{2}$+cos²$\frac{α}{2}$=1，聯(lián)立即可解得cos$\frac{α}{2}$的值．

解答 解：∵$π＜α＜\frac{3π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$，可得：sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，
∵$sinα=-\frac{4}{5}$，可得：2sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=-$\frac{4}{5}$，①，
又∵sin²$\frac{α}{2}$+cos²$\frac{α}{2}$=1，②
∴①+②解得：sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，②-①解得：sin$\frac{α}{2}$-cos$\frac{α}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴兩式相減可得cos$\frac{α}{2}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：B．

點評 本題主要考查了二倍角公式，同角三角函數基本關系式在三角函數化簡求值中的應用，屬于基礎題．