Question

【題目】任意連結(jié)正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)組成一條閉折線(xiàn)．求證當(dāng)中必有兩條邊是平行的．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

用、、、、、代表六個(gè)頂點(diǎn)，

由圖可見(jiàn)，兩兩連線(xiàn)的15條線(xiàn)段可以分為六類(lèi)平行線(xiàn)：

（1），其下標(biāo)滿(mǎn)足．

（2），其下標(biāo)滿(mǎn)足．

（3），其下標(biāo)滿(mǎn)足．

（4），其下標(biāo)滿(mǎn)足．

（5），其下標(biāo)滿(mǎn)足．

（6），其下標(biāo)滿(mǎn)足．

由此可以得出兩個(gè)結(jié)論：

結(jié)論1 兩條線(xiàn)段的充要條件是．

如圖，有

．

結(jié)論2 六類(lèi)平行線(xiàn)恰好對(duì)應(yīng)著模6的六個(gè)剩余1，2，3，4，5，0.

由于封閉折線(xiàn)上的每一點(diǎn)都是兩條線(xiàn)段的端點(diǎn)，因而其六條線(xiàn)段上各端點(diǎn)下標(biāo)之和為

． ①

若封閉折線(xiàn)上的六條邊分別取自上述六類(lèi)(每類(lèi)一條)，

則其端點(diǎn)下標(biāo)之和關(guān)于模6取遍1，2，3，4，5，0，有．

這與①矛盾．所以，封閉折線(xiàn)上的六條邊最多取自五類(lèi)，至少有兩條邊屬于同一類(lèi)，這同一類(lèi)的邊就互相平行.