Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且以橢圓上的點(diǎn)和長軸兩端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）經(jīng)過定點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，試證明：直線與軸的交點(diǎn)為一個定點(diǎn)，且（為原點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）根據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，進(jìn)而可求得橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，可得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由、、三點(diǎn)共線可得出

（1）由題意得，解得，．

所以橢圓的方程為；

（2）由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)為，

設(shè)、，則，設(shè)，

聯(lián)立消去得：，

由得，即時，，一定存在，

，.

當(dāng)斜率不為時：因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線，，

，即，

即

化簡，

代入韋達(dá)定理化簡得，即，，

，且，

當(dāng)斜率時，直線與軸重合，滿足結(jié)論．

綜上，直線與軸的交點(diǎn)為一個定點(diǎn)，且