Question

【題目】設命題：對任意的， 恒成立，其中．

（1）若，求證：命題為真命題．

（2）若命題為真命題，求的所有值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）， 的值均唯一，分別為1，0．

【解析】試題分析：（1）若a=1，b=0，則命題p：對任意的， 恒成立．構造函數， ， ， ．求導可證明.

（2）若命題為真命題，則當時， ，所以，對a分, 討論，可得滿足條件的a值．

試題解析：（1）當時，命題：對任意的， 恒成立．

①記， ．

則，所以為上的單調增函數．

所以，即任意的， ．

②記， ．

則，故為上的單調增函數．

所以，即任意的， ．

所以，命題為真命題．

（2）若命題為真命題，則當時， ，所以．

此時，對任意的， 恒成立．（＊）

若，記， ．

則在上有唯一解，記為．

當時， ，所以為上的單調減函數．

故， ，即，與（＊）矛盾，舍．

若，記， ．

則在上有唯一解，記為．

當時， ，所以為上的單調減函數．

故， ，即，與（＊）矛盾，舍．

從而，所以， 的值均唯一，分別為1，0．