Question

2．已知實數(shù)x，y滿足xy+1=4x+y（x＞1），則（x+1）（y+2）的最小值為27，此時x+y=9．

Answer 1

分析 可用y表示x，求出y＞4，化簡（x+1）（y+2），應(yīng)用基本不等式，求出最小值．

解答 解：∵xy+1=4x+y，且x＞1，
∴x=$\frac{y-1}{y-4}$＞1，解得，y＞4，
∴（x+1）（y+2）=xy+2x+y+2=1+2（3x+y）
=1+2（$\frac{3y-3}{y-4}$+y）=1+2[7+（y-4）+$\frac{9}{y-4}$]
≥1+2（7+6）=27，當(dāng)且僅當(dāng)y=7，x=2，即x+y=9時取等號，
∴（x+1）（y+2）取最小值為27．
故答案為：27，9

點評 本題主要考查基本不等式及應(yīng)用，解題時應(yīng)注意變量的范圍，同時用一個變量表示另一個變量，這是解題常用的方法，應(yīng)掌握，最后要檢驗最值取得的條件．