Question

7．已知點P在曲線C₁：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上，點Q在曲線C₂：（x-4）²+y²=1上，點R在曲線C₃：（x+4）²+y²=1上，則|PQ|+|PR|的最大值是12．

Answer 1

分析 曲線C₁：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的兩焦點恰為曲線C₂：（x-4）²+y²=1上，曲線C₃：（x+4）²+y²=1上，的圓心坐標(biāo)．設(shè)橢圓左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，由三角形兩邊之差小于第三邊知：|PR|最小為|PF₁|-1，最大為|PF₁|+1，同理：|PQ|最小為|PF₂|-1，最大為|PF₂|+1，從而可求|PQ|+|PR|的最大值．

解答 解：橢圓C₁：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的兩焦點為（-4，0），（4，0），
恰為兩圓（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圓心坐標(biāo)．橢圓左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，
由三角形兩邊之差小于第三邊知：|PR|最小為|PF₁|-1，最大為|PF₁|+1，
同理：|PQ|最小為|PF₂|-1，最大為|PF₂|+1，
∴|PQ|+|PR|的最小為|PF₁|+|PF₂|-2=2×5-2=8，最大為|PF₁|+|PF₂|+2=2×5+2=12．
故|PQ|+|PR|的最大值為12，
故答案為：12．

點評 本題的考點是圓與圓錐曲線的綜合，考查線段和的取值范圍問題，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的兩焦點恰為兩圓（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圓心坐標(biāo)．