Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…．
（1）當(dāng)a₁=2時(shí)，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)a₁≥3時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)所有n≥1，有a_n≥n+2．

Answer 1

分析 （1）分別取n=2，3，4依次計(jì)算得出，猜想：a_n=n+1；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）由a₁=2，則a₂=a₁²-a₁+1=4-2+1=3，
則a₃=a₂²-2a₂+1=9-6+1=4，
a₄=a₃²-3a₃+1=16-12+1=5．
猜想：a_n=n+1．
（2）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁≥3=1+2，不等式成立；
假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)不等式成立，即a_k≥k+2，
則a_k+1=a_k²-ka_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1=2k+5＞k+3，
即n=k+1時(shí)，不等式仍成立．
綜上，對(duì)于所有n≥1，都有a_n≥n+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．