Question

如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

解法一：

依題設(shè)，，．

（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，則．

由三垂線定理知，．

在平面內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)，

由于，

故，，

與互余．

于是．

與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，

所以平面．

（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知，

故是二面角的平面角．

，

，．

，．

又，．

．

所以二面角的大小為．

解法二：

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，

建立如圖所示直角坐標(biāo)系．

依題設(shè)，．，．

（Ⅰ）因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/48/189806714810018148/48.gif" width=187 align=absMiddle border=0 v:shapes="_x0000_i1257">

故，．

又，

所以平面．

（Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則

，．

故，．

令，則，，．

等于二面角的平面角，

.

所以二面角的大小為．