Question

4．已知關(guān)于x的不等式（m-2）x²+2（m-2）x-4＜0．
（1）當(dāng)m=$\frac{10}{3}$時(shí)，求不等式的解集．
（2）若不等式對一切x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將m=$\frac{10}{3}$代入，即可列出關(guān)于x的不等式，求解即可得到不等式的解集；
（2）對m進(jìn)行分類討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等關(guān)系，求解即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)m=$\frac{10}{3}$時(shí)，不等式（m-2）x²+2（m-2）x-4＜0，
可化為：$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-4＜0，即x²+2x-3＜0
∴-3＜x＜1，
∴關(guān)于x的不等式f（x）≥-1的解集為{x|-3＜x＜1}；
（2）若（m-2）x²+2（m-2）x-4＜0對一切x∈R恒成立，
①當(dāng)m-2=0，即m=2時(shí)，-4＜0對x∈R恒成立，
∴m=2滿足題意；
②當(dāng)m≠2時(shí)，
則由$\left\{\begin{array}{l}m-2＜0\\△=4（m-2）^{2}+16（m-2）＜0\end{array}\right.$，解得-2＜m＜2．
綜合①②，可得-2＜m≤2，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-2，2]

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，同時(shí)考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，研究二次函數(shù)時(shí)，要抓住開口方向，對稱軸以及判別式等．對于恒成立問題解決的方法常有：參變量分離法，求最值法，數(shù)形結(jié)合法．屬于中檔題．