Question

6．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=g（x）滿足以下條件：
①?x∈R，g（3-x）=g（3+x）；
②g（x）=g（x+2）；
③當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g（x）=-2x²+4x-2．
若方程g（x）=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在[0，+∞）上至少有5個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{5}}}{3}}]$
• C． $（{0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}}）$
• D． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由g（3-x）=g（3+x），
知即g（x）的圖象
關(guān)于直線x=3對(duì)稱，
由g（x）=g（x+2）知，
g（x）的一個(gè)周期T=2．
結(jié)合當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，
g（x）=-2x²+4x-2，
作出g（x）的圖象與函數(shù)
y=log_a（x+1）（x＞0）的圖象，
則方程g（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有5個(gè)不等的實(shí)根等價(jià)于
函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)y=log_a（x+1）（x＞0）的圖象至少有5個(gè)交點(diǎn)，
如圖所示，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}（4+1）=lo{g}_{a}5＞-2}\end{array}\right.$，
 所以0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，方程根的個(gè)數(shù)問題解法，根據(jù)條件判斷函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．