Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣k）ex ． （Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=（x﹣k+1）ex，

令f′（x）=0，得x=k﹣1，

f′（x）f（x）隨x的變化情況如下：

x	（﹣∞，k﹣1）	k﹣1	（k﹣1，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	↓	﹣ek﹣1	↑

∴f（x）的單調遞減區(qū)間是（﹣∞，k﹣1），f（x）的單調遞增區(qū)間（k﹣1，+∞）；

（Ⅱ）當k﹣1≤0，即k≤1時，函數f（x）在區(qū)間[0，1]上單調遞增，

∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（0）=﹣k；

當0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2時，由（I）知，f（x）在區(qū)間[0，k﹣1]上單調遞減，f（x）在區(qū)間（k﹣1，1]上單調遞增，

∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（k﹣1）=﹣ek﹣1；

當k﹣1≥1，即k≥2時，函數f（x）在區(qū)間[0，1]上單調遞減，

∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（1）=（1﹣k）e；

綜上所述f（x）min=

【解析】（I）求導，令導數等于零，解方程，跟據f′（x）f（x）隨x的變化情況即可求出函數的單調區(qū)間；（Ⅱ）根據（I），對k﹣1是否在區(qū)間[0，1]內進行討論，從而求得f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．