Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的極值大于?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間

為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間. （2）存在，范圍為

【解析】

試題（1）函數(shù)的定義域為，.

① 當(dāng)時，，∵∴，∴ 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為

② 當(dāng)時，令得，即，.

（ⅰ）當(dāng)，即時，得，故，

∴ 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（ⅱ）當(dāng)，即時，方程的兩個實根分別為，.

若，則，此時，當(dāng)時，.

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，若，則，此時，當(dāng)時，，當(dāng)時，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間

為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）由(1)得當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無極值

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

∴有極大值，其值為，其中.

∵，即， ∴.

設(shè)函數(shù)，則，

∴在上為增函數(shù)，又，則 ，

∴ .

即，結(jié)合解得，∴實數(shù)的取值范圍為.