Question

9．設(shè)集合A={m+n$\sqrt{3}$|m²-3n²=1，m，n∈Z}．
（1）證明：若a∈A，則$\frac{1}{a}$∈A，且$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$∈A；
（2）對(duì)于實(shí)數(shù)p，q，如果1＜p≤q，證明：2$＜p+\frac{1}{p}≤q+\frac{1}{q}$；并由此說明，A中元素若滿足1$＜b≤2+\sqrt{3}$，則b=2$+\sqrt{3}$；
（3）設(shè)c∈A，試求滿足2$+\sqrt{3}$＜c≤（2$+\sqrt{3}$）²的A的元素．

Answer 1

分析 （1）若a∈A，則a=m+n$\sqrt{3}$且m²-3n²=1，m，n∈Z，進(jìn)而得到$\frac{1}{a}$，$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$均滿足集合A的性質(zhì)，進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x≥1），利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而可得如果1＜p≤q，則2$＜p+\frac{1}{p}≤q+\frac{1}{q}$；進(jìn)而得到A中元素若滿足1$＜b≤2+\sqrt{3}$，則b=2$+\sqrt{3}$；
（3）設(shè)c∈A，結(jié)合（1）（2）中結(jié)論，可得c值．

解答 證明：（1）若a∈A，則a=m+n$\sqrt{3}$且m²-3n²=1，m，n∈Z，
則$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{m+n\sqrt{3}}$=$\frac{m-n\sqrt{3}}{{m}^{2}-3{n}^{2}}$=$m-n\sqrt{3}$=m+（-n）$\sqrt{3}$且m²-3（-n）²=1，m，-n∈Z，
故$\frac{1}{a}$∈A，
則$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$=$（2-\sqrt{3}）$（m+n$\sqrt{3}$）=（2m-3n）+（2n-m）$\sqrt{3}$，
此時(shí)（2m-3n）²-3（2n-m）²=m²-3n²=1，
故$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$∈A；
（2）令f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x≥1），則f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0恒成立，
故x≥1時(shí)，f（x）=x+$\frac{1}{x}$為增函數(shù)，
∵1＜p≤q，f（1）=2
∴2$＜p+\frac{1}{p}≤q+\frac{1}{q}$；
令b=m+n$\sqrt{3}$且m²-3n²=1，m，n∈Z，
∵1$＜b≤2+\sqrt{3}$，
∴2＜b+$\frac{1}$≤$2+\sqrt{3}+\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，
∴2＜2m≤4，
則m=2，n=1，則b=2$+\sqrt{3}$；
（3）∵c∈A，且2$+\sqrt{3}$＜c≤（2$+\sqrt{3}$）²，
∴$\frac{c}{2+\sqrt{3}}$∈A，且1＜$\frac{c}{2+\sqrt{3}}$≤2$+\sqrt{3}$，
由（2）得：$\frac{c}{2+\sqrt{3}}$=2$+\sqrt{3}$，
∴c=（2$+\sqrt{3}$）²=7+4$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合與元素之間的關(guān)系，對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，是集合，函數(shù)，不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．