Question

【題目】已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與、兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知點(diǎn)是軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且滿(mǎn)足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，則，且，化簡(jiǎn)即可得出答案；

（2）由題意，當(dāng)點(diǎn)在橢圓的左右頂點(diǎn)位置時(shí)，易求出面積；當(dāng)點(diǎn)不在橢圓的左右頂點(diǎn)位置時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的斜率，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程可求得，同理可求得，再利用換元法即可求出面積的最值．

解：（1）設(shè)點(diǎn)，則，且，

所以，

化簡(jiǎn)得，

故點(diǎn)的軌跡的方程為；

（2）因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)點(diǎn)在橢圓的左右頂點(diǎn)位置時(shí)，；

當(dāng)點(diǎn)不在橢圓的左右頂點(diǎn)位置時(shí)，直線(xiàn)的斜率存在且不為0，

設(shè)為，則的方程為，

解得所以，

此時(shí)的方程為，所以，

，

令，則，且，

所以，，

綜上可知，面積的最小值為．