Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在上為單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，且，求證：對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增可得，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立；利用導(dǎo)數(shù)求解出在的最小值，從而得到的取值范圍；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時(shí)，，在和時(shí)分別得到需恒成立的不等式；令，通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合可證得結(jié)論.

（1）由已知的定義域?yàn)?/span>

所以

在上單調(diào)遞增

對(duì)任意，都有

即

令，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

因?yàn)?/span>時(shí)，總有

（2）當(dāng)時(shí)，

對(duì)定義域內(nèi)的任意正數(shù)，不等式恒成立，即時(shí)，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以只須證：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

令

令，則

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以是的極值點(diǎn)，從而有極小值，即最小值

所以恒成立

在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>

所以當(dāng)時(shí)，，即恒成立；

當(dāng)時(shí)，，即恒成立

所以，對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立