Question

20．設(shè)命題p：關(guān)于x的一元二次不等式 ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0的解集為R，命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{15-a}-\frac{{y}^{2}}{a}$=1表示焦點在x軸上的雙曲線．
（1）如果p是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）命題p為真命題，即一元二次不等式 ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0的解集為R，利用判別式求出a的取值范圍；（2）求出命題q為真時a的取值范圍，利用p或q”為真，“p且q”為假時，p、q一真一假；求出a的取值范圍．

解答 解：（1）若命題p為真命題，
即一元二次不等式 ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0的解集為R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4×a×\frac{a}{16}＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞2，
∴實數(shù)a的取值范圍；a＞2；
（2）命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{15-a}-\frac{{y}^{2}}{a}$=1表示焦點在x軸上的雙曲線，
$\left\{\begin{array}{l}{15-a＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜15；
“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，
則p、q一真一假；
p真q假時，滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a≤0或a≥15}\end{array}\right.$，
解得a≥15；
p假q真時，滿足$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{0＜a＜15}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤2，
綜上，a的取值范圍是0＜a≤2或a≥15．

點評 本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了復合命題的真假性判斷問題，是綜合性題目．