Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求函數(shù)的值域；

（2）若在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性定義求實數(shù)b的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若方程在區(qū)間上有且僅有兩個不同的根，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先由函數(shù)奇偶性，得到，求得，借助基本不等式可求函數(shù)的值域；

（2）先設(shè)，作差得，根據(jù)單調(diào)性的定義，即可求出結(jié)果；

（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果，得到方程在區(qū)間上有且僅有一個非零根，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)零點分布的情況，即可列出不等式求解.

（1）因為定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，

所以，即；所以；

當時，；

當時，，根據(jù)基本不等式可得：若，則；若，則；即，即；

綜上，函數(shù)的值域為；

（2）設(shè)，則，

因為在上單調(diào)遞減，

所以，因為，，，所以，

故實數(shù)b的取值范圍是；

（3）由（1）（2）得，方程可化為或，

由已知得，方程在區(qū)間上有且僅有一個非零根.

設(shè)，

①，解得：；

②，解得：.

綜上，實數(shù)的取值范圍是.