Question

11．四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA=AD，M，N分別是棱PC，AB的中點，且MN⊥CD．
（Ⅰ）求證：PN=CN；
（Ⅱ）直線MN與平面PBD相交于點F，求MF：FN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中點E，連AE，EM，證明MN⊥平面PCD，可得MN⊥PC，即可證明PN=CN；
（Ⅱ）設M，N，C，A到平面PBD的距離分別為d₁，d₂，d₃，d₄，則d₃=2d₁，d₄=2d₂，由V_A-PBD=V_C-PBD，得d₃=d₄，則d₁=d₂，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：取PD中點E，連AE，EM，
則EM∥AN，且EM=AN，
四邊形ANME是平行四邊形，MN∥AE．
由PA=AD得AE⊥PD，故MN⊥PD．
又因為MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，
則MN⊥PC，PN=CN．…（6分）
（Ⅱ）解：設M，N，C，A到平面PBD的距離分別為d₁，d₂，d₃，d₄，則d₃=2d₁，d₄=2d₂，
由V_A-PBD=V_C-PBD，得d₃=d₄，則d₁=d₂，
故MF：FN=d₁：d₂=1：1．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查等體積的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．