Question

已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，且在x軸截得的弦長(zhǎng)為2，記該圓圓心的軌跡為E.

(1)求曲線E的方程；

(2)過點(diǎn)M的直線m交曲線E于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作曲線E的切線，兩切線交于點(diǎn)C，當(dāng)△ABC的面積為2時(shí)，求直線m的方程．

Answer 1

解析：(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則其半徑r＝.

依題意，r²－y²＝1，即x²＋(y－1)²－y²＝1，

整理得曲線E的方程為x²＝2y.

(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則y₁＝x，y₂＝x.

設(shè)直線m方程為y＝kx＋，代入曲線E方程，得

x²－2kx－1＝0，則x₁＋x₂＝2k.

對(duì)y＝x²求導(dǎo)，得y′＝x.

于是過點(diǎn)A的切線為y＝x₁(x－x₁)＋x，即y＝x₁x－x.①

由①同理得過點(diǎn)B的切線為y＝x₂x－x.②

設(shè)C(x₀，y₀)，由①、②及直線m方程得

x₀＝＝k，y₀＝x₁x₀－x＝－.

M為拋物線的焦點(diǎn)，y＝－為拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線的定義，得

|AB|＝y₁＋＋y₂＋＝k(x₁＋x₂)＋2＝2(k²＋1)．

點(diǎn)C到直線m的距離d＝＝.

所以△ABC的面積S＝|AB|·d＝(k²＋1) .

由已知(k²＋1) ＝2，有且僅有k＝±1.

故直線m的方程為y＝±x＋.