Question

5．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a+b=3$\sqrt{5}$．
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）斜率為1的直線l不經(jīng)過點P（4，1），交橢圓M不同的A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點P，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率和a+b=3$\sqrt{5}$，求出a，b，由此能求出橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m，將y=x+m代入$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$，得5x²+8mx+4m²-20=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量垂直，結(jié)合題意能求出直線l的方程．

解答 解：（1）∵橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${e}^{2}=1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，∴a=2b，
∵a+b=3$\sqrt{5}$，∴a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m，將y=x+m代入$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$，
并整理，得5x²+8mx+4m²-20=0，
△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8m}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-20}{5}$，
由題意知$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PB}$，即$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=0，得（x₁-4，y₁-1）•（x₂-4，y₂-1）=0，
x₁x₂-4（x₁+x₂）+y₁y₂-（y₁+y₂）+17=0，
化簡，得m²+6m+9=0，解得m=-3，
經(jīng)檢驗，得m=-3符合，
∴直線l的方程為x-y-3=0．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、向量垂直的合理運(yùn)用．