Question

【題目】已知直線與拋物線相切，且與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成三角形的周長為6．

(Ⅰ) 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

(Ⅱ) 設(shè)斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn)，當(dāng)，且位于直線的兩側(cè)時(shí)，證明： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) （）;(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ先由判別式為零可得 的值，再根據(jù)三角形周長可得進(jìn)而由橢圓定義可得方程；（Ⅱ）設(shè)直線方程，聯(lián)立 得，根據(jù)直線斜率公式及韋達(dá)定理利用分析法證明即可.

試題解析：(Ⅰ) 因?yàn)橹本�與拋物線相切，所以方程有等根，

則，即，所以．

又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形周長為6,且，

所以

根據(jù)橢圓的定義，動(dòng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，且不在軸上，

所以，得，則，

即曲線的方程為（）.

(Ⅱ)設(shè)直線方程 ，聯(lián)立 得，

△=-3+12>0，所以， 此時(shí)直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn), ，

設(shè) ， ，則，

∵，不妨取，

要證明恒成立，即證明，

即證，也就是要證

即證由韋達(dá)定理所得結(jié)論可得此式子顯然成立，

所以成立.