Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，上、下頂點(diǎn)為，，四邊形是面積為2的正方形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用正方形的面積和邊長(zhǎng)關(guān)系列方程組，結(jié)合解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性判斷出；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，化簡(jiǎn)后寫(xiě)出韋達(dá)定理，計(jì)算，由此證得.

（1）解：∵四邊形是面積為2的正方形，

∴，

又，∴，

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；

（2）證明：由（1）知，，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，軸，

則點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

此時(shí)有，；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立消去得，

，

設(shè)，，

則，，

∵，∴

，

即，∴.