Question

12．已知雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y²=-8x的焦點(diǎn)重合，斜率為1的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，若A，B中點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1），則該雙曲線(xiàn)的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 斜率為1的直線(xiàn)l設(shè)為y=x+t，代入中點(diǎn)（-3，-1），可得t=2，代入雙曲線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得a，b的關(guān)系，再由雙曲線(xiàn)的a，b，c和離心率公式計(jì)算即可得到．

解答 解：斜率為1的直線(xiàn)l設(shè)為y=x+t，
由中點(diǎn)（-3，-1）可得t=2，
即y=x+2，代入雙曲線(xiàn)方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
可得（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，
則x₁+x₂=$\frac{4{a}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$=-6，
即有a²=3b²，
則c²=a²+b²=$\frac{4}{3}$a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時(shí)考查雙曲線(xiàn)方程和直線(xiàn)方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中檔題．