Question

【題目】已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若，，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）令，，若，求證：方程無實(shí)根.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見證明

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出，（2）方程f（x）﹣m（x+1）lnx＝0，轉(zhuǎn)化為x2ex﹣m（x+1）lnx＞x2（x+1）﹣m（x+1）lnx＝（x+1）（x2﹣mlnx），構(gòu)造函數(shù)h（x）＝x2﹣mlnx，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可證明．

（1）由已知，所以，

所以 ，

①若，在上恒有，

所以，所以在上為單調(diào)遞減；

②若，圖象與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

設(shè)的兩根分別為，.

（i）若，，，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，此時(shí)在上和上分別單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

（ii）若，，.

所以，上總有；在當(dāng)上，.

所以此時(shí)在上單調(diào)增，在上單調(diào)減.

綜上：若，在上為單調(diào)遞減；

若，在上和上分別單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

若，在上單調(diào)增，在上單調(diào)減.

（2）由題知，，所以，

令，

對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，

所以，即，

則 ，

令，

所以 ，

因?yàn)?/span>，所以 ，

所以時(shí)，，時(shí)，，

所以在上有最小值，

所以 ，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以，即時(shí)，對(duì)任意，，

所以，

所以方程無實(shí)根.