Question

【題目】已知圓：，動點(diǎn)，線段與圓相交于點(diǎn)，線段的長度與點(diǎn)到軸的距離相等.

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，其中在線段上，在線段上，求的最小值及此時(shí)直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4，.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件可知等于點(diǎn)到直線的距離，由拋物線定義可得軌跡方程；（2）由三點(diǎn)共線，可根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算得到；根據(jù)拋物線定義可求得，利用基本不等式求得最小值；再根據(jù)最值成立條件求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得直線斜率.

（1）由題知：點(diǎn)到的距離等于到軸的距離加

等于到直線的距離

由拋物線的定義可知：

點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線

所以動點(diǎn)的軌跡的方程為：

（2）設(shè)，，，

三點(diǎn)共線 與共線

，整理得：

由拋物線的定義得：

由基本不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，即成立

又 或

或

所以的最小值為，此時(shí)直線的斜率為