Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，數(shù)列中，對(duì)任意正整數(shù)

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)及公比的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

(1)由通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

(2)假設(shè)存在滿足題意的實(shí)數(shù) ，利用等比數(shù)列的定義得到關(guān)于 的方程，解方程可得；

(3)求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，分類討論n的奇偶性即可證得題中不等式的結(jié)論.

試題解析：

(1)當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，

即，

也適合，所以.

(2)法一：

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為.

因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù),，

可令n=2,3,得 .

因?yàn)?/span>是等比數(shù)列，所以

， 解得

從而 （）

所以存在實(shí)數(shù)，公比為.

法二：

因?yàn)閷?duì)任意整數(shù),， 所以，

設(shè) ，則，

所以存在，且公比.

(3)因?yàn)?/span>，所以 ，

所以，即，

于是

當(dāng)是奇數(shù)時(shí): ，關(guān)于遞增，

得 .

當(dāng)是偶數(shù)時(shí): ,關(guān)于遞增,

得 .

綜上， .