Question

【題目】已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為．

求橢圓E的方程；

過點(diǎn)作直線l交E于P、Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】1；2.

【解析】

設(shè)出橢圓的方程，得到關(guān)于a，c的方程組，解出即可求出橢圓方程；

假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，設(shè)，，求出，通過討論當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出m的值，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求出直線方程，代入檢驗(yàn)即確定．

設(shè)橢圓E的方程為，

由已知得，解得：，

所以．

所以橢圓E的方程為．

假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，

設(shè)，，

則，，

，

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，

由，得：，

，，

，

，

對(duì)于任意的k值，上式為定值，

故，解得：，

此時(shí)，為定值；

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，

直線l：，，，，

由，得為定值，

綜合知，符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為．