Question

【題目】橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,且過(guò)M（2， ） ，N(,1)兩點(diǎn)，

（I）求橢圓的方程；

（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1） （2） ，

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率及過(guò)點(diǎn)過(guò)M（2， ） ，N(,1)列出方程組求出，由此能求出橢圓的方程．
（2）假設(shè)存在這樣的圓，設(shè)該圓的切線(xiàn)為與橢圓聯(lián)立，得 由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、圓的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出的取值范圍．

試題解析：（1）

（2）假設(shè)存在這樣的圓，設(shè)該圓的切線(xiàn)為y=kx+m，與聯(lián)立消y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0

當(dāng)△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0

因?yàn)?/span>，所以

所以3m2﹣8k2﹣8=0，由△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0 得

△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0

代入化簡(jiǎn)得

又y=kx+m與圓心在原點(diǎn)的圓相切，所以所求圓 ，直線(xiàn)AB斜率不存在時(shí)也滿(mǎn)足.

當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，即