Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣m（lnx+ ）（m為實(shí)數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）． （Ⅰ）當(dāng)m＞1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若g（x）=x2f′（x）﹣xex在（ ，3）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）當(dāng)m=1時(shí)，證明：xf（x）+xlnx+1＞x+ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）， = ． ∵m＞1，令f′（x）=0，可得x=1，或x=lnm
①當(dāng)m=e時(shí)，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，∴此時(shí)f（x）在（0，+∞）遞增；
②當(dāng)m＞e時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（1，lnm）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（lnm，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
此時(shí)f（x）在（lnm，+∞），（0，1）遞增，在（1，lnm）遞減．
③當(dāng)1＜m＜e時(shí)，x∈（0，lnm）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（lnm，1）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
此時(shí)f（x）在（1，+∞），（0，lnm）遞增，在（lnm，1）遞減．
（Ⅱ）g（x）=x2f′（x）﹣xex=﹣ex﹣m（x﹣1）在（ ，3）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
方程﹣ex﹣m（x﹣1）=0在（ ，3）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，
即m=﹣ 在（ ，3）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，
令h（x）=﹣ ，h′（x）= =0，可得x=2，
x 時(shí)，h′（x）＞0，x∈（2，3）時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（ ）遞增，在（2，3），遞減，
要使g（x）=x2f′（x）﹣xex在（ ，3）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則
可得﹣ ＜m＜﹣e2 ， ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣ ，﹣e2）．
（Ⅲ）證明：當(dāng)m=1時(shí)，要證xf（x）+xlnx+1＞x+ ．
只證x（ ﹣lnx﹣ ）+xlnx+1＞x+ 在（0，+∞）恒成立．
只證 ，易得ex＞x+1在（0，+∞）恒成立，
故只需證1＞ ，即證x＞ln（x+1），
令F（x）=x﹣ln（x+1），F(xiàn)′（x）=1﹣ ＞0，故F（x）在（0，+∞）遞增，而F（0）=0
∵F（x）＞0在（0，+∞）恒成立．
∴xf（x）+xlnx+1＞x+ 成立．
【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）， = ．令f′（x）=0，可得x=1，或x=lnm 分①m=e，②m＞e，③1＜m＜e分類討論其單調(diào)性；（Ⅱ）g（x）=x2f′（x）﹣xex=﹣ex﹣m（x﹣1）在（ ，3）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
方程﹣ex﹣m（x﹣1）=0在（ ，3）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，
即m=﹣ 在（ ，3）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，
令h（x）=﹣ ，可得h（x）在（ ）遞增，在（2，3），遞減，
要使g（x）=x2f′（x）﹣xex在（ ，3）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則
可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣ ，﹣e2）．（Ⅲ）當(dāng)m=1時(shí)，要證xf（x）+xlnx+1＞x+ ．只證x（ ﹣lnx﹣ ）+xlnx+1＞x+ 在（0，+∞）恒成立．
只證 ，易得ex＞x+1在（0，+∞）恒成立，
故只需證1＞ ，即證x＞ln（x+1）即可，
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．