【題目】已知曲線C上每一點到直線l：
的距離比它到點
的距離大1.
（1）求曲線C的方程；
（2）曲線C任意一點處的切線m（不含x軸）與直線
相交于點M，與直線l相交于點N，證明：
為定值，并求此定值.
【答案】（1）
；（2）證明見解析，
為定值0.
【解析】
（1）利用拋物線的定義可得曲線
是頂點在原點，
軸為對稱軸，
為焦點的拋物線，從而求出曲線的方程；
（2）依題意，切線
的斜率存在且不等于0，設(shè)切線的方程為：
，與拋物線方程聯(lián)立，利用△
得到
，故切線的方程可寫為
，進而求出點
，
的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表達出
和
，即可證得
為定值．
解：（1）由題意可知，曲線C上每一點到直線
的距離等于該點到點
的距離，
曲線C是頂點在原點，y軸為對稱軸，為焦點的拋物線.
曲線C的軌跡方程為：.
（2）依題設(shè)，切線m的斜率存在且不等于零，設(shè)切線m的方程為
（
），
代入得
，即
.
由
得
，化簡整理得.
故切線m的方程可寫為.
分別令
，
得M，N的坐標(biāo)為
，
，
，
.
.
即為定值0.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標(biāo)原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
（1）求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知曲線
的極坐標(biāo)方程為
，點
是曲線與的交點，點
是曲線與的交點，、均異于原點，且
，求實數(shù)
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
的前
項和為
，且滿足
，
，設(shè)
，
.
（Ⅰ）求證：數(shù)列
是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若
，，求實數(shù)
的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)
時，給出一個新數(shù)列
，其中
，設(shè)這個新數(shù)列的前項和為
，若可以寫成
（
，
且
，
）的形式，則稱為“指數(shù)型和”.問
中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
，斜率為
的直線
交拋物線
于
，
兩點，當(dāng)直線過點
時，以
為直徑的圓與直線
相切．
（1）求拋物線的方程；
（2）與平行的直線
交拋物線于，
兩點，若平行線，之間的距離為
，且
的面積是
面積的
倍（O為坐標(biāo)原點），求和的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】
是自然對數(shù)的底數(shù)，
，已知函數(shù)
，
.
（1）若函數(shù)
有零點，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）對于
，證明:當(dāng)
時，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】(1)利用“五點法”畫出函數(shù)
在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖.
列表:
| |||||
x | |||||
y |
作圖:
(2)并說明該函數(shù)圖象可由
的圖象經(jīng)過怎么變換得到的.
(3)求函數(shù)
圖象的對稱軸方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知正方體的棱長為2，平面
過正方體的一個頂點，且與正方體每條棱所在直線所成的角相等，則該正方體在平面內(nèi)的正投影面積是__________.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（Ⅰ）當(dāng)
時，求函數(shù)
的極小值；
（Ⅱ）當(dāng)
時，討論的單調(diào)性；
（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間
上有且只有一個零點，求
的取值范圍.
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