Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，左、右頂點(diǎn)A₁、A₂，右準(zhǔn)線l：x=4且|A₂F|=1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)F且斜率不為零的直線交橢圓與B、C兩點(diǎn)，直線A₁B、A₁C分別交l于點(diǎn)M、N，試判斷點(diǎn)F是否在以MN為直徑的圓上．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由準(zhǔn)線方程和橢圓的性質(zhì)，以及a，b，c的關(guān)系式，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)F且斜率不為零的直線BC：y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得到二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)M（4，m），N（4，n），運(yùn)用三點(diǎn)共線知識(shí)，再計(jì)算

MF

•

NF

是否為0，注意化簡整理，即可判斷．

解答： 解：（1）由題意得，a-c=1，

a2

c

=4，解得，a=2，c=1，由b²=a²-c²=3，
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)過點(diǎn)F且斜率不為零的直線BC：y=k（x-1），
與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得到（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
設(shè)M（4，m），N（4，n），則

MF

=（-3，-m），

NF

=（-3，-n），
由A₁，B，M共線，得

y1

x1+2

=

m

6

，
由A₁，C，N共線，得

y2

x2+2

=

n

6

．
則

MF

•

NF

=9+mn=9+

36y1y2

(x1+2)(x2+2)

=9+36•k²•

(x1-1)(x2-1)

(x1+2)(x2+2)

=9+36k²•

(4k2-12)+(3+4k2)-8k2

(4k2-12)+4(3+4k2)+16k2

=0，
故

MF

⊥

NF

，即有點(diǎn)F在以MN為直徑的圓上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是準(zhǔn)線方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量的垂直的條件，屬于中檔題．