Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中不正確的是（　　）

• A、y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對(duì)稱(chēng)
• B、y=f（x）的圖象關(guān)于x=

  π

  2

  對(duì)稱(chēng)
• C、f（x）的最大值為

  3

  2

• D、f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,二倍角的余弦

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用二倍角公式與三角函數(shù)間的關(guān)系可將函數(shù)f（x）=cosxsin2x轉(zhuǎn)化為f（x）=2sinx-2sin³x，再對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．

解答： 解：f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，
對(duì)于A：∵f（π-x）+f（π+x）=（2sinx-2sin³x）-（2sinx-2sin³x）=0，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對(duì)稱(chēng)，即A正確；
對(duì)于B：∵f（π-x）=2sinx-2sin³x=f（x），∴y=f（x）的圖象關(guān)于x=

π

2

對(duì)稱(chēng)，即B正確；
對(duì)于C：y′=-sinxsin2x+2cosxcos2x
=-2sin²xcosx+2cosx（1-2sin²x）
=-6sin²xcosx+2cosx，
令y′=0得：（3sin²x-1）cosx=0，
∴當(dāng)sinx=

3

3

時(shí)取得最大值

4 3

9

，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：∵f（-x）=f（x），∴是奇函數(shù)，又f（x+2π）=f（x），故是周期為2π的周期函數(shù)，故D正確；
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式與三角函數(shù)間的關(guān)系，著重考查三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性及最值的綜合應(yīng)用，屬于難題．