Question

15．對于函數(shù)f（x）=x|3x-x²|+1，有（　�。�

• A． 極大值為f（2）=5，極小值為f（3）=1，f（-1）=-3
• B． 極大值為f（2）=5，極小值為f（3）=f（0）=1
• C． 極大值為f（2）=5，極小值為f（3）=1
• D． 極大值為f（2）=5，極小值為f（0）=1

Answer 1

分析 運用分段函數(shù)的形式寫出f（x），討論當0≤x≤3時，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得f（2）為極大值；當x＜0或x＞3時，求出f（x）的導數(shù)，判斷單調(diào)性，可得f（3）為極小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x|3x-x²|+1=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-{x}^{3}+1，0≤x≤3}\\{{x}^{3}-3{x}^{2}+1，x＞3或x＜0}\end{array}\right.$，
當0≤x≤3時，f（x）=3x²-x³+1的導數(shù)為f′（x）=6x-3x²，
當0＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）遞增；2＜x＜3時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=2處取得極大值，且為5；
當x＜0或x＞3時，f（x）=x³-3x²+1的導數(shù)為f′（x）=3x²-6x，
x＜0時，f′（x）＞0，f（x）遞增；x＞3時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=3處取得極小值，且為1．
故選：C．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，注意運用極值的定義判斷，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．