Question

設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最大值；

（2）令，其圖象上存在一點(diǎn)，使此處切線的斜率，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)，，時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的最大值為；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）.

【解析】

試題分析：（1）將，代入函數(shù)的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值；（2）先確定函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用恒成立的思想進(jìn)行求解；（3）將，代入函數(shù)的解析式并確定函數(shù)的解析式，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，利用極值為零來(lái)求出參數(shù)的值.

試題解析：（1）依題意，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031505074572077439/SYS201403150509527988531728_DA.files/image016.png">，

當(dāng)，時(shí)，，，

由 ，得，解得；

由 ，得，解得或.

，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

所以的極大值為，此即為最大值；

（2），，則有在上有解，

∴，

，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，；

（3）因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031505074572077439/SYS201403150509527988531728_DA.files/image041.png">有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，則，

，，所以由得，

由得，所以在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，.

若有唯一實(shí)數(shù)解，則必有

，

所以當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；2.函數(shù)不等式恒成立；3.參數(shù)分離法；4.函數(shù)的零點(diǎn)