Question

4．已知a、b∈R，ab≠0，函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{x+b}$圖象的對稱中心坐標(biāo)為（-1，1）．
（1）求a、b的值；
（2）若P（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的動點，且x＜-1，試求OP（O為坐標(biāo)原點）的最小值，并求此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及對稱中心的定義，即可求出a，b的值，
（2）畫出函數(shù)的圖象，當(dāng)過點P的切線與OP垂直時，OP（O為坐標(biāo)原點）有最小值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出點P的坐標(biāo)，問題得以解決．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{x+b}$=$\frac{a（x+b）-ab}{x+b}$=-$\frac{ab}{x+b}$+a圖象的對稱中心坐標(biāo)為（-1，1），
∴a=1，b=1
（2）由（1）知f（x）=$\frac{x}{x+1}$，P（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的動點，且x＜-1，
圖象如圖所示，
當(dāng)過點P的切線與OP垂直時，OP（O為坐標(biāo)原點）有最小值，
∵f′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，
∴切線的斜率k=f′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，
∵k_OP=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{x+1}$，
∴k•k_OP=-1，
∴$\frac{1}{（x+1）^{2}}$•$\frac{1}{x+1}$=-1，
解得x=-2，
∴y=$\frac{-2}{-2+1}$=2，
∴點P的坐標(biāo)為（-2，2），
∴OP（O為坐標(biāo)原點）的最小值為$\sqrt{（-2）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$

點評 本題考查了函數(shù)的對稱中心的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵是畫出圖象得到當(dāng)過點P的切線與OP垂直時，OP（O為坐標(biāo)原點）有最小值，屬于中檔題．