Question

【題目】直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知 ， ，若橢圓的離心率，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程；

(2)當(dāng)時(shí),試問(wèn)：的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值1.

【解析】

（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合雙曲線的離心率列方程，求得的值，即求得橢圓方程.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得三角形的面積為定值.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，代入，化簡(jiǎn).然后通過(guò)計(jì)算三角形的面積，由此判斷三角形的面積為定值.

（1）∵ ∴

∴橢圓的方程為

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即，

由已知 ，得

又在橢圓上， 所以

,三角形的面積為定值．

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)：設(shè)的方程為

必須 即得到，

∵，∴

代入整理得：

所以三角形的面積為定值．