Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為 ，上、下頂點分別是 ，點 是 的中點，若 ，且 .
（1）求橢圓 的標準方程；
（2）過 的直線 與橢圓 交于不同的兩點 ，求 的面積的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）

由題意可得 ， ①，由 ，可得 ,即有 ②，由①②解得c=1，b= , ,故橢圓C的標準方程為 .

（2）

設(shè) ， .

由題意知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l 的方程為x=my+1,

由 得 ，∴， ， .

因為直線l與橢圓C交于不同的兩點，

所以△>0，即 ，則

令 則t≥1，則 ，令 ，由函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù) 在 上是單調(diào)遞增函數(shù)，即當t≥1時， 在 上單調(diào)遞增，因此有 ，所以 即當t=1，即m=0時， 最大，最大值為3.

【解析】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，構(gòu)建代數(shù)方法解決幾何問題等基礎(chǔ)知識，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，綜合分析問題、解決問題的能力，推理能力和運算能力．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關(guān)知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．